Anton Kukkonen tekee diplomiopintoja Sibelius-Akatemiassa Martti Rousin ohjauksessa. Hän on aikaisemmin opiskellut mm. Csaba Szilvayn johdolla Itä-Helsingin musiikkiopistossa sekä Zvi Plesserin johdolla Israelissa Jerusalemin Rubin-akatemiassa. Muita tärkeitä opettajia ja muusikkoja Antonille ovat olleet mm. Anssi Karttunen, Risto Poutanen, Seppo Laamanen ja Frans Helmerson. Kukkonen on konsertoinut paljon sekä Suomessa että ulkomailla.