Anna Záborszky aloitti sellonsoiton 3-vuotiaana isänsä István Záborszkyn johdolla ja opiskeli Joensuun konservatoriossa vuodesta 1995. Syksystä 2008 hän on ollut Martti Rousin oppilaana Sibelius-Akatemiassa. Záborszky on saanut kamarimusiikkiopetusta Marko Ylöseltä ja Teemu Kupiaiselta sekä osallistunut pianotrionsa kanssa Alban Berg -kvartetin, Martti Raution ja Paavo Pohjolan mestarikurssille. Lisäksi hän on osallistunut mm. Erkki Raution ja Arto Noraksen mestarikursseille ja konsertoinut laajasti. Záborszkyn soitin on Suomen Kulttuurirahaston ja Suomen konservatorioliiton myöntämä Justin Derazey -sello vuodelta 1860.